Variation des suites géométriques

Propriété  

Soit  \(q\)  un réel non nul différent de  \(\text 1\) , \(v_0\)  un réel et  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite géométrique de premier terme \(v_0\) et raison  \(q\) .

• 1^er cas :  \(v_0>0\)                                               
  Si \(0 alors la suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante.    
  Si  \(q>1\)  alors la suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante. 
  
• \(\textbf2^\text{e}\) cas : \(v_0<0\)             
  Si \(0 alors la suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante.    
  Si  \(q>1\)  alors la suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante. 
  
• Quel que soit  \(v_0\) , si \(q<0\)  alors la suite   \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) n'est ni croissante ni décroissante.
  

Remarque  

• Si  \(q=0\) , `v_n=0` pour tout `n\geq 1` .
  
• Si \(q=1\) `(v_n)` est constante.
  

Démonstration 

Soit  \(q\)  un réel non nul différent de  \(\text 1\) , \(v_0\)  un réel et  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite géométrique de raison  \(q\) .
On étudie le signe de la différence  `v_{n+1}-v_n` .
Or, pour tout  `n`  entier naturel, 
\(v_{n+1}-v_n=q×v_n-v_n=(q-1)×v_n=(q-1)q^n×v_0\) .

• 1^er cas :  \(v_0>0\)    
  Si \(0 alors  \(q-1<0\)  et  \(q^n>0\)  donc  \(v_{n+1}-v_n<0\) . La suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est donc décroissante.    
  Si  \(q>1\)  alors  \(q-1>0\)  et  \(q^n>0\)  donc  \(v_{n+1}-v_n>0\) . La suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est donc croissante. 
  
• \(\textbf2^\text{e}\)  cas : \(v_0<0\)    
  Si \(0 alors  \(q-1<0\)  et  \(q^n>0\)  donc  \(v_{n+1}-v_n>0\) . La suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est donc croissante. 
  Si  \(q>1\)  alors  \(q-1>0\)  et  \(q^n>0\)  donc  \(v_{n+1}-v_n<0\) . La suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est donc décroissante. 
  
• Quel que soit  \(v_0\) , si \(q<0\)  alors  \(q^n\)  change de signe selon la parité de  \(n\) , il en est de même pour \(v_n\) . La suite   \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) n'est ni croissante ni décroissante.